問い：Id(s, t) と Q1〜Q11

Structure Computer は、中心の問い Id(s, t)（s から t へ何歩で着くか）のほかに、系の構造についての 11 種の問い（Q1〜Q11）に答える。どの答えにも証明書が付き、独立の検査器を通ったものだけが返る。答えには確かさの種類（確定・確率的に確定・復元値・統計・結果なし）が付く。種類の意味は「結果の読み方と用語集」にある。

試すページでの計算のされ方

• 「全部計算する」を押すと、Id(s, t) と Q1〜Q7、Q11 をまとめて計算する。Q5 は、Q4 が見つけた最初の保存量を確かめる。
• Q8〜Q10 は追加の入力が要るので、それぞれのカードに入力して計算する。
• 問いによって、どの数の世界について答えるかが違う。

一覧

Id(s, t)：s から t へ何歩で着くか

1 歩の規則を σ と書くと、答えは次のどれかになる。

• t = σⁿ s ⇔ n ≡ r (mod M)：n を M で割って r 余るときに限り、n 歩で t に着く（n が負なら逆向きにたどる）。
• 道なし：何歩進めても戻しても、t には着かない。
• s は正則でない：s から進める（または戻す）途中で、式が定義されない状態（0 で割る）に行き当たる。そこまでに t に着くなら、その歩数を添える。
• ℚ 上で着くときは、着く歩数 n と、ほかに解があるとしたらそれが満たす n ≡ r (mod M) の形を答える。

試すページの入力

詳細オプション（ふつうは変えなくてよい）

Q1 可逆性

1 歩の規則を逆向きにたどれるか（双有理か）を答える。

• たどれるときは、逆向きの 1 歩の式を返し、行って戻ると元に戻ることを ℚ 上の式の恒等式として確かめる。式が定義されない場所（分母が 0 になる場所）もあわせて示す。系ファイルに逆向きの式（inverse:）を書いてあれば、それが本当に逆になっているかも答える。
• たどれないときは理由を答える。理由は、別々の状態が同じ行き先に移ってしまうことである（専門的には、1 変数で次数が 2 以上、ヤコビアンが恒等的に 0、異なる 2 点が同じ点に移る、のどれか）。
• 確かめきれないときは、小さい素数の上での行き先の重なりの数による統計になる。

Q2 周期構造

有限体の上で、状態が「周期のある輪（サイクル）」と「途中で途切れる鎖」にどう分かれるかを答える。

• 状態の数が少なければ、すべての状態を数える（確定）。周期ごとのサイクルの数と、鎖の長さの分布を返す。
• 状態の数が多ければ、軌道を標本にとって周期の分布を見積もる（統計）。標本の 1 つ 1 つの周期は、確かめられたものは確定の事実として記録される。
• ℚ を選んだときは、素数 11 と 13 の上で数える。

Q3 可積分性

運動が規則的な「可積分」な系かどうかを答える。

• 互いに独立な保存量が「変数の数 − 1」個そろえば、どの軌道も曲線の上に乗るので「可積分」と確定する。保存量の式も返す。
• そろわないときは、有限体の上での周期の分布の特徴から判定する（統計）。判定は「可積分の兆候」「非可積分（可逆）」「非可積分（ランダム）」「未決定」のどれか。

Q4 保存量の発見

次数の上限（試すページの「保存量の次数の上限」）までで、軌道に沿って値が変わらない式を見つける。

• 多項式の保存量は、見つけた基底と、それで「全部」かどうか（完全性）を確定で答える。
• 分数の形の保存量（有理式）は、見つけたものを挙げる。全部を挙げたとは限らない。
• 挙げた式のうち、互いに独立なものの個数も答える。
• 挙げた式は、どれも ℚ 上の恒等式として証明されている。

Q5 保存量の検証

与えた式 I が保存量かどうかを答える。試すページでは、Q4 が見つけた最初の式を確かめる。

• 保存されるなら、1 歩進めても I が変わらないことを ℚ 上の恒等式として証明する。
• 保存されないなら、1 歩で I の値が変わる具体的な点を反例として示す。
• 1 歩が有理式で書けない系（ラグランジアンで与え、次の点が 1 次の方程式で決まらない系）では、有限体の上での事実か、標本による統計になる。

Q6 ホロノミー

系ファイルで対称性（symmetry: に so: と 2 次形式）を宣言したときだけ答える。宣言がない系では、入力エラーになる。

• 軌道が、対称性で移り合う分を除いて s に戻ってくるまでの歩数と、そのとき状態がどれだけ「回されて」戻るか（対称性の群の元）を、素数ごとに答える。
• その回され方を何回くり返すと元に戻るか（位数）と、回され方の種類も示す。
• 書き方は「系ファイルの書き方」にある。

Q7 整数不変量の復元（ℚ 上の歩数）

ℚ 上で t = σⁿ s となる整数 n を答える。試すページでは、選んだ体によらず ℚ 上で問う。

• 「|n| ≤ B（歩数の上界）の解がある」という前提のもとで、その n を一意に求める（復元値）。
• 範囲に解がないことや、そもそも着かないことが分かれば、確定で「該当する n はない」と答える。

Q8 道の同値

s から出る 2 つの道（生成元の語。たとえば r s^-1 r^2 は左から順に r、s の逆、r を 2 回）が同じかどうかを答える。

• 1 つの規則だけの系では、歩数の合計が同じなら同じ道である（確定）。
• 複数の生成元の系では、2 つの語を合成した写像が一致するかで判定する。一致すれば式の恒等式で、違えば具体的な点で示す（確定）。式が大きすぎるときは標本による統計になる。

Q9 系の同値

もう一つの系と、アフィンな座標の取り替え（x ↦ Mx + c）で移り合うかどうかを答える。

• 移り合うなら、その取り替えを示し、2 つの系の 1 歩が対応することを式の恒等式で証明する。式が定義されない場所どうしも対応するかもあわせて答える。
• 移り合わないことが示せれば確定、どちらとも言えなければ統計になる。
• 取り替え φ を自分で与えれば、それが正しいかを確かめる（x ↦ Mx + c の形でない取り替えでも、逆向きの式があれば確かめられる）。

Q10 輸送

Q9 で同値と分かった系の間で、一方の系について得た結果（証明書つき）を、もう一方の系の結果に移す。元の結果、座標の取り替え、移した結果のすべてを、検査器が確かめ直す。移した結果の種類は、元の結果と同じになる。

Q11 閉じた項の評価

Id(s, t) を型理論（ホモトピー型理論）の項として扱い、2 つのことを答える。

• 構文だけで証明できるか。s と t は別々の定数なので、構文では証明できない。これは系によらない一般的な事実であり、情報はほとんどない。
• この系をモデルとしたときの値。ℚ 上で着く歩数か、道なしかで、情報があるのはこちらである。